Delta Verskansing Binêre Opsie

Delta neutrale strategie is 'n soort van die mark neutrale strategie. 'N Portefeulje of 'n strategie is gesê mark neutraal wees as dit poog om sekere soorte markrisiko's heeltemal te vermy deur die metode van verskansing. 'N beleggingstrategie word gesê neutraal te wees as dit vertoon nul korrelasie met risiko. Delta Neutrale en Pars handel is twee markneutrale strategieë. In hierdie artikel sal die nuanses van Delta Neutrale strategie verken. Delta Neutrale is 'n portefeulje van soortgelyke finansiële sekuriteite wat nie verander met die klein veranderinge in die onderliggende aandeel. Ongeag of die onderliggende aandeel gaan af of die posisie behou sy waarde sonder die verhoging of verlaging in die prys. Die positiewe en negatiewe delta komponente verreken in hierdie portefeulje wat opsies en sy ooreenstemmende onderliggende sekuriteite het. Dit laat die portefeulje om stabiel te bly. Delta verskansing is die prosedure van die behoud van die delta van 'n portefeulje om soveel as moontlik nul. Delta neutraal is 'n goeie opsies handel wanneer posisies is opgestel om die meeste van die tyd verval maak. Wanneer 'n posisie is ontwerp om voordeel te trek uit die tyd verval, dit reageer baie min om enige veranderinge wat plaasvind in die onderliggende bate. Dit is hier waar dinamiese verskansing gebruik word, sodat die algehele delta waarde is herbalanseer wanneer dit beweeg uit neutraliteit. Market makers hou delta neutrale posisie. Die hoofdoel van die mark makers is om wins te maak deur handel op 'n verspreiding in plaas van die verdien 'n opbrengs op hul posisie. Die beste ding omtrent delta neutrale strategie is dat dit verseker dat handelaars risiko effektief kan bestuur. Terwyl beginner opsie handelaars voel dat wisselvalligheid is nie goed in die mark, is dit 'n dwaling. Daar is 'n kans om voordeel te trek uit dalings van 'n hoë wisselvalligheid wat hoofsaaklik gedoen deur die neutrale posisie delta. Om wins te verkry van 'n delta neutraal bou van 'n omgekeerde skuins kalender verspreiding aangewend kan word om 'n mark as dieselfde voorwaardes kan gevind word. Die vakbond is suksesvol van 'n daling in wisselvalligheid selfs sonder enige beweging van die onderliggende securities. I het reeds uitgepluis het dat Delta-verskansing in wese draai Europese opsies in wisselvalligheid produkte waar jy betaal geïmpliseer vol en betaal besef vol vir lang posisies en jy betaal besef vol en betaal stilswyende vol vir 'n kort posisies. Ek het ook ontdek dat die mark-up in die Europese opsies algemeen gedoen word deur die gebruik van wisselvalligheid modelle te vol vir 'n paar onderliggende bate te projekteer en dan haal bod en vra pryse met behulp van die prysmodel onderhewig aan die geprojekteerde vol en uiteindelik delta-verskansing al opsie posisies wat kry gevul deur die mark. Wat is die effek van delta-verskansing eksotiese opsies Het dit dieselfde effek van die draai van die eksotiese opsies in-wisselvalligheid gebaseer payoff produkte in teenstelling met direksionele prysbewegings payoff produkte Doen mark-makers in eksotiese opsies delta-verskans hul posisies net soos is gedoen met vanielje produkte gevra 2 Oktober by 04:26 Ja algemeen I39m seker you39re reg, maar wat is die punt van verskansing eksotiese opsies met vanielje opsies die punt van Delta verskansing is om voordeel te trek uit wisselvalligheid nie directional prysbewegings. Dieselfde lyk nie om aansoek te doen om eksotiese opsies. Ek is net hardloop 'n paar Matlab simulasies en ek sien dat wanneer delta-verskansing n binêre opsie, wins is blykbaar nie sterk korreleer met besef vol. Trouens, ek sien geen merkbare verband tussen besef vol en wins ten alle. uitvoering maak Alex Ockenden 2 Oktober om 22:15 2 Antwoorde oorweeg lesing Lorenzo Bergomi se uitstekende boek - of ten minste die eerste hoofstuk hier beskikbaar vir aflaai -, sal dit jou help om dinge te verduidelik. Enkele opmerkings oor jou oorspronklike vraag: Dit is alom bekend dat, onder 'n time-homogene verspreiding aanname, die totale PampL van 'n delta verskans Europese opsie (dit wil sê 'n opsie waarvan die payoff net afhanklik van die waarde van die onderliggende bate teen 'n datum in die toekoms T) oor die horison 0, T skryf: PampL int0T frac underbrace) ST2 (sigma2 - sigma2) dt As sodanig, hoewel 'n delta verskans Europese opsie portefeulje is sensitief vir die besef teen geïmpliseer wisselvalligheid verskil, is dit nie 'n suiwer wisselvalligheid handel . die Gamma dollar termyn stel 'n afhanklikheid van die kol pad. Dit Gamma dollar termyn moet regtig gesien word as 'n soort van wisselvalligheid akkumulator. net langs paaie waar die Gamma dollar is nie nul sal die verskil tussen besef en geïmpliseer wisselvalligheid saak. Die vorige verhouding het nog vir digitale (of binêre) opsies, want hulle is ook Europese opsies na alles. Wat jy waarneem is dus bloot 'n gevolg van die feit dat die kaart van 'n binêre oproep Gamma is redelik anders as dié van 'n vanielje oproep (sien onder): wel, dit is zero oor die grootste deel van die tyd tot volwassenheid / spot domein. As sodanig is die bydrae van besef teen geïmpliseer wisselvalligheid teenstrydighede aan die totale PampL is heeltemal anders: net wat gebeur (1) om die staking, (2) naby die verstryking sake. Dit is die rede waarom jy nie 'n sterk korrelasie tussen die gevolglike PampL en die besef vol oor die hele-delta verskansing horison het in ag te neem. Nou met betrekking tot delta verskansing eksotiese opsies, met vermelding van Lorenzo Bergomis hoofstukke verteer en die toevoeging van 'n paar van my eie opmerkings: Delta verskansing verwyder die orde-een bydrae van Delta S om die PampL van 'n opsie posisie. Hoewel die verwagting van die PampL van 'n delta verskans portefeulje is nul (op voorwaarde dat jy die wisselvalligheid korrek verwag - of variansie - van toekomstige opbrengste), Delta verskansing is nie voldoende vir die vermindering van die standaard afwyking van die PampL. Die bronne van die verspreiding van hierdie PampL is: (a) die sterte van opbrengste, (b) die wisselvalligheid van besef wisselvalligheid en die korrelasie van toekomstige besef wisselings. Die gebruik van opsies vir gamma-verskansing dit is, met behulp van vanielje opsies om die gamma dollar termyn plaaslik te kanselleer (.) - Immunizes ons teen besef wisselvalligheid Dinamiese verhandeling van vanielje opsies egter ontbloot ons onsekerheid oor toekomstige vlakke van geïmpliseerde wisselings (.) . Vandaar die behoefte van stogastiese wisselvalligheid modelle vir die modellering van die dinamika van geïmpliseer wisselvalligheid. Eksotiese opsies afhang dikwels in 'n komplekse manier op die dinamika van geïmpliseer volatiliteiten blootstelling wat gewoonlik met hanteer met handel vanielje opsies. Sien byvoorbeeld die geval van 'n (relatief) vooruit begin by die geld oproep in 'n homogene verspreiding model. In daardie selfde spesifieke geval, het ons nie meer omgee delta verskansing want dit is net die dinamika van vorentoe wisselvalligheid wat saak maak. Een manier wil so 'n blootstelling met behulp van kalender spreads. Founded in 2013 neutraliseer, Binary Tribune het ten doel om die verskaffing van sy lesers akkurate en werklike finansiële nuusdekking. Ons webwerf is gefokus op die belangrike segmente in die finansiële markte aandele, geldeenhede en kommoditeite, en interaktiewe in-diepte verduideliking van die belangrikste ekonomiese gebeure en aanwysers. Finansiële Risiko-Openbaringsverklaring BinaryTribune sal nie aanspreeklik gehou word vir die verlies van geld of enige skade wat veroorsaak word van vertroue op die inligting op hierdie webtuiste gehou word. Handel forex, aandele en kommoditeite op marge dra 'n hoë vlak van risiko en mag nie geskik vir alle beleggers nie. Voordat jy besluit om buitelandse valuta moet jy noukeurig oorweeg jou beleggingsdoelwitte, vlak van ervaring en risiko-aptyt handel. Koekie Policy Hierdie webwerf maak gebruik van koekies om jou te voorsien met die beste ervaring en om jou beter te leer ken. Met die besoek ons ​​webwerf met jou leser stel om koekies toelaat, jy instem tot ons gebruik van koekies soos beskryf in ons privaatheidsbeleid. kopieer Kopiereg 2016 mdash Binary Tribune. Alle regte ReservedWhat is die Delta van 'n op-die-geld binêre opsie met 'n payo uit 0 by lt100 dollars, en uitbetaling 1 op gt100 dollars, want dit verstryking Dit is uit 'n monster onderhoud eksamen nader. Ek verstaan ​​dat Delta wese meet die verandering in die afgeleide prys relatief tot die verandering in die bate prys, as die saak op die ope mark. Hoe kan ek eintlik gaan oor die berekening van Delta vir 'n bepaalde situasie soos die een hierbo Ive nie gewees om 'n formule vir dit op Google wat 'n bietjie vreemd My naïef dink dat die antwoord 0.5 behoort te wees, maar ek is nie seker hoekom vra 12 Februarie vind by 22:54 waar d2f (St). Die gebruik van Leibniz integrale reël om al die resultate saam Verband tussen Binêre opsie delta en Tyd tot vervaldatum dm63 'n kort antwoord op jou vraag hoe delta sal reageer as opsie sal sy vervaldatum nader, onder ek meer akkurate verhouding Verw het getoon reeds: www. binaryoptions / binêre-opsie-Grieke / binêre-bel-opsie-delta Jy kan sien as die tyd tot vervaldatum die delta van 'n op-die-geld opsie benaderings tot oneindigheid te verminder. Omdat 'n klein verandering in voorraad prys (epsilon), aanvaar STK en opsie is naby volwassenheid, sal veroorsaak dat die opsie payoff om sy waarde te verander deur 1 (as die inligting wat in OP). So, opsie delta Deltat frac om infty. Jy kan ook kyk die resultaat van formule hierbo afgelei. antwoord 13 Februarie by 07:25 Delta van 'n digitale (of binêre) opsie is soos die normaalverdeling waarskynlikheid funksie. nader 0 by verre OTM / ITM voorwaardes en verteenwoordig 'n baie hoë piek by OTM. Die hoogtepunt op OTM nader oneindigheid as ons die volwassenheid nader. Dit is nooit 0,5 soos 'n vanielje opsie aangesien die beloning nooit die beloning van die onderliggende simuleer. As jy wil om 'n benadering vir delta by OTM het. ID stel voor dat jy óf gebruik langer gedateer opsies. of om 'n verspreiding gebruik om gepolijst uit die delta by OTM. Dis hoe die handelaars gepolijst uit die delta van digitale produkte, terwyl verskansing. Dit struktuur mag effens duur al beantwoord 13 Februarie by 10 wees: 55Binary koopopsie Delta Binary koopopsie delta meet die verandering in die prys van 'n binêre koopopsie weens 'n verandering in die onderliggende bate prys en is die gradiënt van die helling van die binêre opsies prys profiel teenoor die onderliggende bate prys (die 8216underlying8217). Van al die Grieke, kon die binêre koopopsie delta waarskynlik beskou word as die mees bruikbare deurdat dit kan ook geïnterpreteer word as die ekwivalent posisie in die onderliggende, dit wil sê die delta vertaal opsies, of individuele opsies of 'n portefeulje van opsies, in 'n ekwivalente posisie van die onderliggende. 'N binêre koopopsie met 'n delta van 0,5 beteken dat as die onderliggende aandeelprys styg 1 dan die binêre oproep in waarde sal toeneem deur. Nog 'n interpretasie sou 'n kort 400 kontrak posisie in SampP500 binêre oproepe met 'n delta van 0.25, wat gelykstaande is aan wat kort 100 SampP500 termynmark sal wees. Dit is belangrik om te besef dat die delta dinamies is besig om as 'n funksie van baie veranderlikes, insluitend 'n verandering in die onderliggende prys, en dat 'n verandering in enige van daardie veranderlikes waarskynlik sal veroorsaak dat 'n verandering in die delta. Daarom, indien enige of al die veranderlikes, insluitend die onderliggende prys, tyd tot vervaldatum en geïmpliseer wisselvalligheid, verander dan die bogenoemde opsie sal nie noodwendig 'n delta van 0,5 en toeneem in waarde deur of die ekwivalent SampP posisie wees kort 100 SampP500 termynmark . Dit praktiese en eenvoud van konsep bydra tot deltas, uit al die Grieke, synde die mees gebruik onder handelaars, veral mark-makers. Hier volg 'n ontleding van: die eindige verskil metode om deltas evalueer, voorbeelde van die gebruik van die delta te verskans met, vergelykings van konvensionele call opsies delta met binêre koopopsie delta, en uiteindelik 'n geslote-vorm formule vir die binêre koopopsie delta. Binêre koopopsie Delta en Eindige Delta Die delta van enige opsie word gedefinieer deur: P prys van die opsie S prys van die onderliggende P 'n verandering in die waarde van PS 'n verandering in die waarde van S Figuur 1 toon die 1 dag prys profiel van 'n binêre oproep met figuur 2 toon (in swart) dieselfde prys profiel tussen die onderliggende pryse van 99,78 en 99,99. Fig.1 8211 Binary koopopsie Prys profiel Fig.2 8211 Fair Value amp Delta Hange Die blou 18 regmerkie koord reis tussen die punt op die oproep profiel 9 bosluise onder die prys van 99,90-9 bo bosluise. Die billike waarde van die koopopsie binêre op 99,81 is 3,4592 en op 99,99 is 46,1739 soos in die onderste ry van Tabel 1. Die gradiënt van hierdie koord word gedefinieer deur: P 2 Binêre Call waarde by S 2 P 1 Binary Call waarde op S 1 sed Minimum onderliggende bate prys verandering dws Gradient (46,1739-3,4592) / (99,99-99,81) x 0,01 soos aangedui in die onderste ry van die sentrale kolom van Tabel 1. die hellings van die 12 merk koord en 6 regmerkie koord bereken op dieselfde wyse en verskyn ook in die sentrale kolom van Tabel 1. Tabel 1 - van Gradiënt van Chord om te bel Delta van Gradiënt van Chord om te bel Delta as die prysverskil vernou, dit wil sê as S 0 (soos weerspieël deur S 0.06 en S 0,03) die helling is geneig om die delta van 2,4149 by 99,90. Die binêre koopopsie delta is dus die eerste ewenaar van die binêre koopopsie billike waarde ten opsigte van die onderliggende en kan wiskundig gestel word as: S 0, DP / dS wat beteken dat as S val op die helling van die prys profiel benaderings nul die gradiënt van die raaklyn (delta) by die onderliggende bate prys. Binêre koopopsie Delta en geïmpliseerde Volatiliteit Figuur 3 illustreer 5-dag binêre oproep profiele met figuur 4 verskaffing van die verband deltas oor 'n verskeidenheid van geïmpliseerde volatiliteiten as in die legendes. In Figuur 3 die 9 billike waarde profiel is redelik vlak in vergelyking met die ander vier profiele wat weerspieël word in Figuur 4 waar die 9 delta profiel skommel net 0.16 van 'n delta van 0,22 by die vlerke om 0.38 toe op-die-geld en is die platste van die vyf delta profiele. In Figuur 3, met die wisselvalligheid op 1 en onderliggende minder as 100, is daar min kans dat die binêre oproep om 'n wen-weddenskap totdat die onderliggende kry naby aan die staking waar die prys profiel steepens skerp te reis deur 0,5 voor afplat kort van die binêre oproep prys van 100. Fig.3 8211 Binary koopopsie Fair Value tov Wisselvalligheid Die 1 delta in Figuur 4 toon die dramatiese verandering van binêre oproep prys met die 1 delta profiel wys nul delta gevolg deur 'n skerp verhoging delta as die binêre oproep prysveranderings dramaties oor 'n klein verandering in die onderliggende, gevolg deur 'n skerp afname in delta as die binêre koopopsie delta terug na nul as die binêre oproep vlakke af teen die hoër prys. Vir dieselfde wisselvalligheid die delta van die binêre oproep wat 50 bosluise in-die-geld is dieselfde as die delta van die binêre oproep 50 bosluise buite-die-geld. Met ander woorde die delta is horisontaal simmetries om die onderliggende toe op-die-geld, dit wil sê wanneer die onderliggende is op 100. fig.4 8211 Binary koopopsie Delta w. r.t. Geïmpliseerde Volatiliteit Hierdie funksie van die binêre koopopsie delta toe op die geld, is dié van die Dirac delta funksie, of funksie, waar die gebied onder die profiel is 1. Dit beteken dat die binêre koopopsie delta toe op-die-geld en met tyd tot vervaldatum of geïmpliseer wisselvalligheid nader nul kan oneindig hoog met 'n totale oppervlakte van een onder die piek geword. Hierdie funksie natuurlik maak delta-neutraal verskansing as onprakties wanneer die koopopsie binêre is op-die-geld met 'n baie kort tydjie tot vervaldatum of 'n baie lae geïmpliseerde wisselvalligheid. In die praktyk hierdie toestande en 'n kort op-die-geld binêre oproep posisie in Apple Inc sal die delta-neutraal handelaar vereis om te bie vir die maatskappy om plat Binary koopopsie Delta en Tyd te leer verstryking in die bostaande illustrasie (Fig. 4) die 1.00 delta pieke af die skaal op 3,41, maar hierdie waarde verhoog skerp soos die tyd tot vervaldatum afneem van 5 dae. Syfers 3 amp 5 illustreer binêre oproep prys profiele wat altyd 'n positiewe helling sodat die binêre call opsies delta is altyd positief. Fig.5 8211 Binary koopopsie Fair Value w. r.t. Tyd om verstryking van die 25-dag prys profiel in Figuur 5 het die langste tyd tot vervaldatum en het die laagste hefboom wat in Figuur 6 word geïllustreer deur die laagste waarde delta profiel daarna. Fig.6 8211 Binary koopopsie Delta w. r.t. Tyd om kort tyd verstryking om binêre oproep vervaldatum (en sit) opsies bied die grootste hefboomfinansiering van enige finansiële instrument soos geïllustreer deur die uiters steil prys profiel van figuur 5 en sy verwante delta in Figuur 6. Die 0.1-dag delta pieke by 4.82, wat basies bied gereed van 482 in vergelyking met die 100 hefboomfinansiering van 'n lang toekomstige posisie. Dalende wisselvalligheid en dalende tyd tot vervaldatum het 'n soortgelyke uitwerking op die prys van 'n binêre opsie wat uit gedra deur die soortgelyke delta profiele van figure 4 amp 6. Tabel 2 toon 10 dae, 5 wisselvalligheid binêre koopopsie pryse met deltas. Tabel 2 - Binary koopopsie Fair Value met gepaardgaande Delta Op 99,87 die binêre oproep is die moeite werd 43,5921 en het 'n delta van 0,4764. Daarom, as die onderliggende styg drie bosluise 99,87-99,90 die binêre oproep in waarde sal styg tot: 43,5921 3 x 0,4764 45,0213 As die onderliggende het 3 bosluise 99,93-99,90 die binêre oproep sou die moeite werd wees: 46,4641 (-3) x 0,4805 45,0226 op 99,90 die binêre oproep waarde in tabel 2 is 45,0250, so daar is 'n effense verskil tussen die bogenoemde berekende waardes en werklike waarde in die tabel. Dit is omdat die delta van 0,4764 en 0,4805 is die deltas vir net die twee onderliggende vlakke van 99,87 en 99,93 onderskeidelik, dit wil sê die deltas verander met die onderliggende. Op 99,90 die delta is 0,4788 so die waarde van 0,4764 is te laag by die beoordeling van die opwaartse beweging 99,87-99,90, terwyl soortgelyke die delta van 0,4805 is te hoog wanneer die evaluering van die verandering in binêre oproep prys wanneer die onderliggende val 99,93-99,90. Die gemiddelde van die twee deltas by 99,87 en 99,90 is: (0,4764 0,4788) / 2 0,4772 en moet hierdie nommer gebruik word in die eerste berekening hierbo dan die binêre oproep op 99,90 sou word geskat as: 43,5921 3 x 0,4772 45,0237 'n fout van 0,0013 . Die gemiddelde delta tussen 99,90 en 99,93 is: (0,4788 0,4805) / 2 0,47965 Die tweede berekening hierbo nou genereer 'n prys op 99,90 van: 46,4641 (-3) x 0,47965 45,02515 'n fout van net 0,00015. Die afdeling oor binêre koopopsie gamma sal die antwoorde verskaf oor waarom hierdie verskil nog bestaan. Verskansing met Binary koopopsie Delta As die getalle in Tabel 2 in verband met 'n band toekoms, dan is dit dalk nie onredelik wees om 'n binêre opsie op daardie toekoms met 'n vereffeningswaarde van 1000 gelyk is aan 10 per punt bied. Voorbeeld. 'n binêre opsies handelaar koop 100 kontrakte van die 100 staking binêre met 10 dae tot vervaldatum met die toekoms verhandel teen 99,87 teen 'n prys van 43,5921, kos 'n totaal van: 43,5921 x 10 x 100 kontrakte 43,592.10 Hoe die handelaar verskans weg die onmiddellike directional blootstelling 100 kontrakte van die opsie met delta van 0,4764 is gelykstaande aan 'n posisie van 47,64 termynkontrak op die termynmark prys van 99,87 sodat die handelaar verkoop 48 termynmark te verskans (net nie moontlik om te verkoop 0,64 van 'n future. the opsieprys van 43,5921 is aangekom by deur gemiddeld in) 1) die toekoms val 99,81 waar die opsie is die moeite werd 40,7518 so die posisie PampL is nou: Binêre koopopsie verloor: 40,7518 43,5921 -2,8403 wat gelykstaande is aan 'n verlies van: -2,8403 x 10 x 100 kontrakte -2,840.3 wat gelykstaande aan 'n wins van: -0,06 / 0,01 x 10 x -48 2880 'n algehele wins van 39,70 2) die toekoms styg tot 99,93 waar die opsie is die moeite werd 46,4641 so die posisie PampL is nou: Binêre koopopsie winste: 46,4641 43,5921 2,8720 wat gelykstaande aan 'n wins van: 2.8720 x 10 x 100 kontrakte 2,872.00 wat gelykstaande is aan 'n verlies van: 0.06 / 0,01 x 10 x -48 -2.880 'n algehele verlies van 8,00. Hierdie verlies aan die hoë kant kan weg verklaar word deur die oor-verskansing van 48 termynmark in teenstelling met 47,64 toekoms. As 47,64 termynmark gebruik (a spreadbet miskien) dan die algehele nadeel wins sal verminder word tot 18,10 terwyl die onderstebo verlies van 8,00 sou draai in 'n wins van 13,60. Die konstante gebruik van deltas vir verskansing op hierdie wyse is noodsaaklik vir 'n opsies mark-maker. Dat die gebruik van 'n heining van 47,64 produseer 'n wins op beide die onderstebo en nadeel is die impak van die gamma, in hierdie geval positiewe gamma. Binêre koopopsie Delta v Konvensionele koopopsie Delta Figure 7a-e illustreer die verskil met verloop van tyd tot vervaldatum tussen die binêre koopopsie deltas en hul konvensionele neefs vir diegene wat reeds vertroud is met conventionals. Fig.7a 8211 25-Dag Binary amp Konvensionele Call Delta Fig.7b 8211 10-Dag Binary amp Konvensionele koopopsie Delta Fig.7c 8211 4-dag Binary amp Konvensionele koopopsie Delta Fig.7d 8211 1-Dag Binary amp Konvensionele koopopsie Delta Fig.7e 8211 0.1 Dag Binary amp konvensionele koopopsie Delta Punte van belang is: 1) Waar die konvensionele oproep deltas word beperk tot 'n waarde van 0,5 wanneer die opsie is by-die-geld, die binêre oproep is op sy hoogste wanneer op-die-geld en het geen beperking in staat is om oneindig nader as tyd tot verstryking benaderings 0. 2) Wanneer die tyd om verstryking is groter as 1 dag (Figs.7a-c) die hefboom van die opsie binêre oproep is laer as die konvensionele koopopsie, maar wanneer die tyd om verstryking verminder (Figs.7d-e) die delta van die binêre oproep word hoër as die maksimum waarde van 1.0 van die konvensionele koopopsie. 3) Die konvensionele koopopsie delta profiel lyk die prys van die binêre oproep. 4) Die vervanging van 'n verskeidenheid van geïmpliseer wisselings in plaas van die tye te verval 'n soortgelyke stel illustrasies om Figs.7a-e sal voorsien. formule